Mặt Boy (Boy's Surface) và Mặt Roman

Trong hình học vi phân và tô pô học, Mặt Boy (Boy’s Surface) là một trong những bề mặt nổi tiếng và quan trọng nhất. Nó được phát hiện bởi nhà toán học người Đức Werner Boy vào năm 1901 khi ông đang làm luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của David Hilbert.

Điều làm nên sự đặc biệt của Mặt Boy là nó là một phép nhúng (immersion) của mặt phẳng xạ ảnh thực (Real Projective Plane) vào không gian ba chiều $\mathbb{R}^3$ mà không có bất kỳ điểm kỳ dị (singularities) nào. Trước khi Boy phát hiện ra nó, nhiều nhà toán học tin rằng một phép nhúng như vậy là không thể tồn tại.

Biến đổi Morin-Apery

Phép tham số hóa Morin-Apery cung cấp một mối liên hệ biến hình liên tục thông qua hệ số $k \in [0, 1]$:

• Khi $k = 0$: Bề mặt có dạng Mặt Roman (Roman Surface), phát hiện bởi Jakob Steiner (một loại phép nhúng khác của mặt phẳng xạ ảnh nhưng chứa điểm kỳ dị (pinch points)).
• Khi $k = 1$: Bề mặt biến đổi hoàn toàn thành Mặt Boy (Boy’s Surface), loại bỏ toàn bộ các điểm kỳ dị.