Mặt gối Bouligand (Bouligand's Pillow)

Dưới đây là mô phỏng bề mặt đại số đặc biệt mang tên Mặt gối Bouligand, được khám phá bởi nhà toán học người Pháp Georges Bouligand vào năm 1928. Mặt cong này nổi bật với hình dáng vô cùng thú vị, có kết cấu trông y hệt như một chiếc gối vuông đang được bơm phồng căng nứt ở giữa.

Sự chuyển đổi giữa Hai hệ phương trình

Tùy thuộc vào cách viết phương trình (có chứa căn thức hay khai triển thành đa thức bậc 4), bề mặt sẽ mang hình dáng hữu hạn hoặc vô hạn. Bạn có thể sử dụng bảng điều khiển để chuyển đổi qua lại giữa hai dạng biểu diễn này:

1. Gối đơn hữu hạn (Pillow alone): Được mô tả bằng hàm ẩn chứa căn thức: $\sqrt{x^2+z^2} + \sqrt{y^2+z^2} - a\sqrt{2} = 0$ Ở dạng biểu diễn này, phương trình tự động giới hạn nghiệm, tạo ra duy nhất một “chiếc gối” kín lồi lồi nằm lọt thỏm trong không gian. Bạn có thể kéo thanh trượt $a$ để làm cho chiếc gối xẹp xuống hoặc phồng to lên.

2. Mặt kẹo hoàn chỉnh vô hạn (Candy Quartic): Nếu bình phương hai vế của phương trình trên để triệt tiêu căn thức, ta thu được phương trình đại số bậc 4 (Quartic Surface): $x^2y^2 + a^4 - a^2(x^2 + y^2 + 2z^2) = 0$ Bất ngờ thay, phương trình mới không chỉ chứa “chiếc gối” ban đầu, mà còn làm xuất hiện thêm 4 chiếc phễu khổng lồ kéo dài ra vô cực từ 4 đỉnh của chiếc gối! Hình dáng lúc này trông giống như một viên kẹo khổng lồ được bọc trong vỏ xoắn ở bốn góc.